Formation continue en Mathématiques

Sous la direction et avec la participation effective de Laurent LAFFORGUE, membre de l’Académie des Sciences, Médaille Fields

La Formation continue en Mathématiques permet aux inscrits de suivre tout ou partie de la Classe de Mathématiques de l’École professorale de Paris (voir présentation de cette classe à l’onglet « Scolarité », ligne « Mathématiques »), en fonction de leurs intérêts et de leurs disponibilités.

L’admission se fait sur dossier, comportant :

une lettre de motivation,
un CV
une photocopie du dernier diplôme obtenu

Le dossier doit nous être adressé soit par courriel à [email protected], soit par courrier postal à École professorale de Paris, 72 rue Raynouard, 75016 PARIS.

Quand la formation est prise en charge par les organismes professionnels ou par les établissements, les frais sont de 1500 € pour 60 heures de cours, de 2500 € pour 150h..

Quand la formation est prise en charge par le stagiaire à titre personnel, les frais sont de 1000 €.

Numéro de déclaration d’activité de l’École professorale de Paris en tant que prestataire de formation: 11 75 549995 75.

Inscription du 1er mars au 30 juin 2017.

Pour toute information complémentaire, contacter le secrétariat de l’EPP au [email protected] ou le 06 08 90 64 31.

Programme 2017-2018

Module 1 (30 heures)

GROUPES DE SYMÉTRIE

par Laurent LAFFORGUE, ancien élève de l’ENS Ulm, agrégé de Mathématiques, Professeur à l’Institut des Hautes études scientifiques (IHES), membre de l’Académie des Sceinces, Médaille Fields de Mathématiques.

Le cours s’intéressera aux groupes des symétries d’un certain nombre d’objets ou de structures mathématiques, qu’il s’agisse de groupes finis, discrets, topologiques ou algébriques. On étudiera des situations mathématiques entièrement caractérisées par leurs symétries (géométrie affine, orthogonale ou symplectique, géométrie des polygones et polyèdres réguliers, groupes cristallographiques qui sont les groupes de symétries des pavages, théorie de Galois des corps finis et conséquences pour la théorie de Galois de Q) et on portera une attention toute particulière à la notion d’invariant (comme les mesures de Lebesgue ou plus généralement de Haar caractérisées par leur propriété d’invariance par translation, avec les conséquences de l’existence d’une telle mesure, ou les fonctions invariantes par un groupe discret de périodes, avec la formule de Poisson associée)

Module 2 (30 heures)

AUTOUR DES FONCTIONS HARMONIQUES ET DE L’ANALYSE COMPLEXE

par Frédéric MORLOT, ancien élève de l’École polytechnique, agrégé de Mathématiques, Professeur de classes préparatoires au lycée Sainte-Geneviève (Versailles).

Dans ce module, il s’agira d’étudier la notion de fonction harmonique et le principe du maximum, aussi bien dans des cadres discrets élémentaires (tels que, par exemple, le problème de la ruine en probabilités ou la résolution de l’équation de la chaleur en milieu discret) que dans celui de l’analyse complexe.

Évidemment, il sera donné une importance particulière à ce dernier point, tant la théorie des fonctions holomorphes et des fonctions méromorphes est un aspect essentiel du bagage mathématique actuel. Notamment, dans une perspective de préparation aux concours d’enseignement, il ne peut y avoir d’impasse sur un sujet aussi incontournable.

Il serait appréciable que les étudiants aient déjà des notions sur les séries numériques et les séries entières, même si le module comportera une introduction à la sommabilité assez fournie.

MODULE 3 (30 heures)

SYSTÈMES DE NUMÉRATION

par Benoît RITTAUD, ancien élève de l’ENS Lyon, agrégé de Mathématiques, Maître de Conférences à l’Université Paris XIII

Les fondements théoriques de l’écriture décimale sont souvent un parent pauvre des programmes d’enseignement. Ceux-ci requièrent des connaissances en analyse qui ne sont enseignées que dans le supérieur, où la question est en général implicitement supposée déjà assimilée. Or, outre que le sujet de l’écriture des nombres devrait être parfaitement maîtrisé par tout enseignant et futur enseignant, il constitue aussi une importante application de quantité de résultats venus de parties très diverses des mathématiques. Restreints aux nombres entiers, les systèmes de numération sont l’occasion de nombreux problèmes de dénombrement. Traités dans le cadre des rationnels, ils offrent des applications inattendues à la théorie des groupes abéliens finis. Considérés pour les réels, ils sont un champ d’application important de la théorie des séries, fournissant en passant une construction de R bien moins abstraite que celles de Cauchy et de Dedekind, et très liée à la mesure de Lebesgue. Enfin, la compréhension des nombres p-adiques est grandement facilitée par le recours à l’image intuitive de « nombres à une infinité de décimales vers la gauche ».

Les généralisations à des systèmes de numération dits « exotiques » (à base non entière, ou définis à l’aide de suites telles que celle de Fibonacci) permettent quant à elles d’utiliser les suites à récurrence linéaire dans un cadre original, notamment arithmétique, ainsi que de s’initier à la théorie des langages.

Si le temps le permet, d’autres manières d’écrire les nombres seront également abordées, telles que les fractions continues, les fractions de Rosen ou encore les fractions de Engel, ainsi que leurs interprétations en géométrie élémentaire et leurs premières propriétés arithmétiques.

MODULE 4 (30 heures)

SUITES ÉQUIRÉPARTIES

par Mohamed HOUKARI, ancien élève de l’École polytechnique, agrégé de Mathématiques, Professeur de classes préparatoires au lycée Henri IV

Une suite de nombres réels compris entre 0 et 1 est dite équirépartie lorsque la fréquence de passage des termes de cette suite dans tout intervalle I de [0,1] converge vers la mesure de I. Les suites équiréparties ont à voir avec la théorie des nombres (suites de Kronecker), avec l’analyse (intégrales de Riemann, analyse de Fourier pour le critère de Weyl), mais aussi avec les probabilités et l’analyse numérique, au travers des utilisations de la théorie pour les méthodes type Monte Carlo et quasi-Monte Carlo.

MODULE 5 (30 heures)

PROBABILITÉS ET STATISTIQUES

par Christian HESS, agrégé de Mathématiques, Docteur d’État ès Sciences Mathématiques, Professeur émérite à l’Université Paris-Dauphine

Rappels et compléments de probabilités (convergence des suites de variables aléatoires réelles, lois des grands nombres, théorème central limite). Échantillonnage. Estimation. Tests statistiques. Modèle linéaire gaussien. Régression linéaire simple ou multiple.

CALENDRIER

Les jours et heures de cours seront précisés prochainement sur cette page.