ACTUALITÉS

Deux professeurs de Mathématiques de l’Ecole professorale de Paris viennent de publier en ouvrages les cours qu’ils ont donné à l’École en 2016-2017 :

• Laurent LAFFORGUE, Géométrie plane et algèbre, Hermann, mars 2018.

• Benoît RITTAUD, Newton implique Kepler. Méthodes géométriques élémentaires pour l’enseignement supérieur en mathématiques, Ellipses, décembre 2017.

MATHÉMATIQUES

Programme 2018-2019

En 2018-2019, les cours suivants ont été donnés :

Module 1 (15 heures)

LES GROUPES ET LEUR STRUCTURE

par Laurent LAFFORGUE, ancien élève de l’ENS Ulm, agrégé de Mathématiques, Professeur à l’Institut des Hautes études scientifiques (IHES), membre de l’Académie des Sciences, Médaille Fields de Mathématiques.

Les groupes apparaissent naturellement en mathématiques par la considération des symétries de tous les types d’objets que l’on est amené à étudier.

Cependant, c’est souvent les mêmes groupes ou types de groupes que l’on retrouve dans les contextes les plus divers.

La raison en est que les groupes munis de la structure naturelle avec laquelle ils apparaissent sont presque toujours algébriques ou peuvent se construire à partir de groupes algébriques, et que les groupes algébriques appartiennent pour la plupart à quelques grandes familles qu’il est possible de décrire.

Le cours expliquera ces faits, en s’attachant en particulier aux familles les plus importantes de groupes algébriques que sont les « groupes classiques » (groupes linéaires, groupes orthogonaux, groupes symplectiques, groupes unitaires). Il donnera aussi des éléments d’étude des groupes de Lie et des groupes finis qui se déduisent des groupes classiques.

Module 2 (15 heures)

AUTOUR DE LA LOI DE RÉCIPROCITÉ QUADRATIQUE

par Mohamed HOUKARI, ancien élève de l’École polytechnique, agrégé de Mathématiques, Professeur de classes préparatoires au lycée Henri IV.

Ce module à la teneur algébrique est construit autour de la preuve de la loi de réciprocité quadratique développée par J.-P. Serre dans son Cours d’arithmétique. Nous étudierons notamment la construction et la structure des corps finis, ainsi que certains anneaux d’entiers (Gauss, Eisenstein), en passant par d’autres résultats célèbres comme le théorème des deux carrés de Fermat. En fin de module, si le temps le permet, nous aborderons une autre preuve de la loi de réciprocité quadratique, basée sur la classification des formes sesquilinéaires sur les corps finis.

Module 3 (15 heures)

APPROCHER LES NOMBRES

par Benoît RITTAUD, ancien élève de l’ENS Lyon, agrégé de Mathématiques, Maître de Conférences à l’Université Paris XIII.

Le problème est aussi ancien que celui de l’établissement d’un calendrier : comment approcher un nombre (comme la durée de l’année solaire) par un nombre plus simple (typiquement : un nombre rationnel) ? Il existe plusieurs outils pour aborder ce problème : fractions continues, algorithme de Stern-Brocot, codages sturmiens. Parmi les applications possibles de ce type de questions, mentionnons la construction de nombres transcendants, les approximations du nombre π, ou encore l’étude quantitative de l’orbite d’un point par une rotation sur le cercle.

Module 4 (15 heures)

INTRODUCTION À LA RELATIVITÉ GÉNÉRALE POUR LES MATHÉMATICIENS

par Cédric DEFFAYET, ancien élève de l’ENS Ulm, agrégé de physique, directeur de Recherche au CNRS, chercheur à l’Institut d’Astrophysique de Paris (IAP) et à l’Institut des Hautes Études Scientifiques (IHÉS), chargé de cours à l’École Polytechnique.

La théorie de la relativité générale, formulée par Einstein il y a plus de 100 ans, reste aujourd’hui la meilleure description disponible de la « force » de gravitation. Elle a reçu récemment une confirmation éclatante avec la détection directe des ondes gravitationnelles. Cette théorie a aussi des ramifications importantes en mathématiques, d’une part parce qu’elle utilise de nombreuses notions de géométrie différentielle, d’autre part parce qu’elle est le sujet de beaucoup de travaux visant en particulier à mieux comprendre les solutions des équations d’Einstein.

L’objet de ce cours est de proposer une introduction à la relativité générale en insistant en particulier sur les méthodes et résultats mathématiques qui lui sont reliés (mais qui concernent aussi quelques résultats physique d’importance) : la structure des équations d’Einstein, leurs solutions simples et leurs géométries (métriques cosmologiques, solutions de trous noirs, ondes gravitationnelles, singularités). Aucun prérequis n’est nécessaire, si ce n’est des notions très élémentaires de mécanique du point.

Module 5 (15 heures)

CONVERGENCES PROBABILISTES ET APPLICATIONS

par Christian HESS, agrégé de Mathématiques, Docteur d’État ès Sciences Mathématiques, Professeur émérite à l’Université Paris-Dauphine

Dans l’optique de la préparation à l’agrégation de mathématiques, l’étude de la convergence des suites de variables aléatoires, en plus de son intérêt propre, amène à revisiter les résultats sur les suites « déterministes » et, plus généralement, d’autres résultats d’analyse.

Sans parler de leur utilisation intensive dans diverses branches professionnelles, les applications statistiques constituent un domaine original, en ce sens qu’elles font intervenir, non seulement la démarche hypothético-déductive propre aux mathématiques, mais aussi la démarche inductive qui permet d’analyser des données particulières, issues d’observations ou d’expériences, et de les interpréter dans le cadre d’un modèle dont on espère qu’il conduira à une loi d’une certaine généralité. Ce sont surtout les résultats asymptotiques, liés à la convergence des suites de variables aléatoires, qui retiendront notre attention dans ce cours.

Contenu prévisionnel :

– Les principaux modes de convergence des suites de variables aléatoires. Voir les parties (a) et (b) de la section 11.3 du programme de l’agrégation de mathématiques de l’année 2018 ; notamment, lois faible et forte des grands nombres, et théorème central limite.

– Applications à la statistique mathématique. Voir la section (e) du programme spécifique à l’option A (Probabilités).

– D’autres résultats intéressants ne figurant pas explicitement au programme de l’agrégation seront brièvement présentés, tels que la loi du logarithme itéré et l’inégalité de Berry-Essen.